Алгебраїчна структура може мати більше ніж одну операцію, і необхідний гомоморфізм щоб зберегти кожну операцію. Таким чином, карта, яка зберігає лише деякі операції, є не гомоморфізмом структури, а лише гомоморфізмом підструктури, отриманим шляхом розгляду лише збережених операцій.

f(xy) = f(x)f(y) для всіх x і y в G. Тут xy знаходиться в G, а f(x)f(y) в H, тому гомоморфізм від G до H є функцією, яка перетворює операцію в G на операцію в H, навіть якщо операція не є буквально «множенням».

Для будь-якої групи, існує (єдиний) гомоморфізм групи в групу з одним елементом і єдиною можливою груповою операцією e ∗ e = e . Цей гомоморфізм задано g ↦ e для всіх g ∈ G . Цей гомоморфізм зазвичай не є ін’єктивним: він є ін’єктивним тоді і тільки тоді, коли є група з одним елементом.

Ізоморфізм — це гомоморфізм, який також є біекцією. Інтуїтивно зрозуміло, що ви можете думати про гомоморфізм ϕ як про «зберігаючу структуру» карту: якщо ви помножите, а потім застосуєте ϕ, ви отримаєте той самий результат, що коли ви спочатку застосуєте ϕ, а потім помножите.

Ця, здавалося б, абстрактна ідея досить проста для розуміння. Якщо група G1 визначена за допомогою операції добутку ∗, то гомоморфізм — це відображення, яке переводить будь-який такий добуток елементів у G1 в іншу групу G2 так, що цей добуток переходить до іншого добутку в G2 за допомогою відповідної операції #.

Алгебраїчна структура може мати більше ніж одну операцію, і необхідний гомоморфізм щоб зберегти кожну операцію.