Етимологія тут досить прозора. Від старослов'янського дієслова "баяти", тобто "говорити", "розповідати". Ви напевно знаєте слово «Краснобай» у значенні «добрий оратор». Або казкового персонажа Кота-Баюна, який замовляє мандрівників своїм чарівним голосом, а потім безжально вбиває та з'їдає.
«Баяти» значить: "розповідати"; "байка" – "казка". А поєднання «баюшки–баю», безперечно, значить: «Я тобі казую казочки»
баю–бай – Вікісловник